доказать теорему остроградского

0,87 Mb. страница7/9НОВАКОВИЧ А.АДата конвертации27.09.2011Размер0,87 Mb.Тип Смотрите также:             7     Несобственное ортогональное преобразование линейное преобразование . Здесь - ортогональная матрица с определителем: . Общим случаем несобственного ортогонального преобразования системы координат является поворот с последующей инверсией. При несобственных преобразованиях правая координатная система переходит в левую, и наоборот. Отражение в любой плоскости, проходящей через начало координат частный случай несобственного ортогонального преобразования. Псевдотензор ранга N - многокомпонентная величина, закон преобразования которой имеет вид: Этот закон преобразования не отличается от законов преобразования тензора в случае собственных ортогональных преобразований, где , но в случае несобственных преобразований истинные тензоры и псевдотензоры преобразуются по разному закону. Аксиальный вектор псевдотензор первого ранга, или псевдовектор. Компоненты псевдовектора при инверсии системы координат не изменяются, а истинного, или полярного вектора изменяют знак. Примерами аксиальных векторов являются: момент силы, момент импульса, магнитный дипольный момент, напряженность магнитного поля, а так же величина, определяемая векторным произведением двух полярных векторов.Тема 12 Элементы тензорного анализа. Обобщенная теорема Остроградского- Гаусса для тензорных полей. В заключительной части курса переходим из области тензорной алгебры в область тензорного анализа, но в самом простом случае: рассматривается 3-х мерное евклидово пространство с использованием декартовой системы координат. Смысл данного перехода заключается в том, что вместо отдельных тензоров рассматриваются тензорные поля, в связи с чем, появляется новая операция дифференцирование тензоров. Дается определение скалярного, векторного и тензорного полей произвольного ранга. Перечисляются все возможные операции над тензорными полями, и доказывается их законность, как обобщение соответствующих операций над отдельными тензорами. Основное внимание уделяется введенной новой операции дифференцированию тензоров, которая порождает новое тензорное поле, имеющее ранг, на единицу больший, чем исходное. Возвращаясь к введенным ранее операциям вычисления градиента, дивергенции, ротора и оператора Лапласа, окончательно устанавливается, что их результатом являются скалярные или векторные поля, что ранее утверждалось без проведения доказательств. В заключительной части лекции формулируется и доказывается теорема, обобщающая интегральную теорему Остроградского-Гаусса, доказанную ранее для случая векторных полей, на случай тензорных полей произвольного ранга. Рассматривается ряд физических приложений обобщенной теоремы Остроградского Гаусса для тензорных полей. 1. Доказывается справедливость закона Архимеда о выталкивающей силе, действующей на тело произвольной формы, погруженное в несжимаемую жидкость. 2. Показывается, что сила самодействия замкнутого стационарного тока (системы токов) равна нулю. В случае замкнутого нестационарного тока компоненты напряженности электрического и магнитных полей на большом расстоянии от тока обратно пропорциональны этому расстоянию, что может привести к возникновению конечной силы самодействия. 3. Теорема Остроградского-Гаусса справедлива и для неевклидова пространства. На качественном уровне рассказывается о геометрии 3-х мерного пространства Вселенной в закрытой модели Фридмана. Конечный объем и отсутствие двумерных границ у такого пространства приводит к равенству нулю полной энергии и электрического заряда Вселенной.^ Основные понятия, глоссарий. Скалярное поле физическая величина скалярного типа, имеющая определенное значение в каждой точке пространства. Скалярное поле задается функцией координат . В новой координатной системе тоже скалярное поле описывается другой функцией: , если рассматривать новые координаты

Учебно-методический комплекс учебной дисциплины «векторный и тензорный анализ, дополнительные главы векторного и тензорного анализа» вузовского компонента цикла двм по специальностям: 010701- физика,

Учебно-методический комплекс учебной дисциплины «векторный и тензорный анализ, дополнительные главы векторного и тензорного анализа» вузовского компонента цикла двм по специальностям: 010701- физика, - страница 7